可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, 43-44)：



0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}

1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}

2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}





〔如果從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變成0的分子。

換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕



現在一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如：



0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},

2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}



[Λ為空集]



一般來說，如果已經構作集n, 那麼它的後繼元(successor) n* 就界定為n∪{n}。



在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下去，並且所有由這構作方法得到的集合能構成一個集合，這條公理稱為無窮公理(Axiom of Infinity)(當然我們假定了其他一些公理（如並集公理）已經建立。



〔ｐｓ：無窮公理是一些所謂非邏輯的公理。
正是這些公理使得以Russell 為代表的邏輯主義學派的某些主張在最嚴格的意義下不能實現。〕



便可應用以下的定理來定義關於自然數的加法。



定理：命"|N"表示由所有自然數構成的集合，那麼可以唯一地定義映射A：|Nｘ|N→|N，使得它滿足以下的條件：

(1)對於|N中任意的元素x，我們有A(x,0) = x ；

(2)對於|N中任意的元素x和y，我們有A(x,y*) = A(x,y)*。



映射A就是用來定義加法的映射，如下：

(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。



現在，可證明"1+1 = 2" 如下：

1+1

= 1+0* (因為 1:= 0*)

= (1+0)* (根據條件(2))

= 1* (根據條件(1))

= 2 (因為 2:= 1*)



〔注：嚴格來說我們要援用遞歸定理(Recursion Theorem)來保證以上的構作方法是妥當的，在此不贅。]



1+ 1= 2"可以說是人類引入自然數及有關的運算後"自然"得到的結論。
但從十九世紀起數學家開始為建基於實數系統的分析學建立嚴密的邏輯基礎後，人們才真正審視關於自然數的基礎問題。

相信這方面最"經典"的証明應要算是出現在由Russell和Whitehead合著的"Principia Mathematica"中的那個。

可以這樣證明"1+1 = 2"：

　首先，可以推知：

αε１<=> (Σx)(α={x})

βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))

ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))

所以對於任意的集合γ，有

　γε1+1

<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))

<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))

<=> γε2


根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，得到1+1 = 2。] 1+1=2??

【1+1=2登上科學界‘最偉大公式’之一。】

"為何1+1=2？"這個看似多餘的問題。首先，大家要知道在集合論的脈絡中討論的對象是各式各樣的集合（或類 (class)，

它們和集合的分別在此不贅），故此經常碰到的自然數在這裡也是以集合（或類）來定義。

可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, 43-44)：



0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}

1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}

2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}





〔如果從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變成0的分子。

換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕



現在一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。

ｅｘ：


0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},

2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}


可以這樣證明"1+1 = 2"：

首先，可以推知：

αε１<=> (Σx)(α={x})

βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))

ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))

所以對於任意的集合γ，有

　γε1+1

<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))

<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))

<=> γε2

根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，得到1+1 = 2。







我累了......

看的我头大了～咱没有那么高的水平～佩服～

我相信學測不會考它........
CC

看來~我還是知道結果就好了...............

看起來不像是統測會；烤；到的東西

所以就不用去想了

感覺像是大學的才會去搞這套0.0

計算機打一打就好了...管他怎來了

佩服楼主......

本人没什么文化,看不懂

我只感觉你打的都是表情符号...

原來1+1=2也可以那麼深奧
我暈了......
但是想到我準備上大學 要上微積分 更暈了

下面是引用小佑子於2008-08-29 19:19發表的 :
原來1+1=2也可以那麼深奧
我暈了......
但是想到我準備上大學 要上微積分 更暈了

微積分還好拉

只要是不是數學系的

通常都只是教基本的而已

當然工科也會難一點

下面是引用小佑子於2008-08-29 19:19發表的 :
原來1+1=2也可以那麼深奧
我暈了......
但是想到我準備上大學 要上微積分 更暈了

哈哈哈~ 感覺到痛苦了嗎？~ 感覺到無助了嗎？

你有看到數字就頭昏，

看微積分那種毛毛蟲符號就會過敏，

什麼函數都會令你想要再去殺高斯一次嗎？

再看到樓主那1+1=2的証明題以後~ 大家是不是對數學更加害怕了。
沒關係~ 有個科系是數學恐懼症最好的救星~ ~~~~
那就是法律系~ 沒錯~ 就是這帖~ 包你快樂的不得了~
啊哈~ 什麼微積分~ 什麼函數~ 沒關係~ 全部都可以給他退化~ 退化到
1+1=2 都沒問題啦

普通人知道1+1=2就可以了，呵呵。
知道後面的肯定是精英！